Définition de la probabilité

Le terme probabilité désigne les chances que quelque chose se produise ; il s’agit d’une estimation de la fréquence moyenne relative d’un événement lors d’essais indépendants répétés. La fréquence relative se situe toujours entre 0% (l’événement ne se produit jamais) et 100% (l’événement se produit toujours). La probabilité est un outil qui permet de prédire la fréquence d’un événement mais non le moment exact où il se produira. La probabilité peut également être utilisée pour déterminer les conditions nécessaires à l’obtention de certains résultats ou les perspectives financières à long terme d’un jeu particulier et pour savoir s’il vaut la peine de participer à un jeu quelconque. La probabilité est souvent exprimée sous forme de cote, de fraction ou de fraction décimale (ou proportion). La probabilité et la cote sont des façons légèrement différentes de décrire les chances qu’a un joueur de gagner son pari.

Probabilité

La probabilité est une estimation des chances de gagner, divisée par le nombre total des chances (possibilités). Elle s’exprime par une fraction ordinaire (p. ex., ¼) un pourcentage (p. ex., 25%) ou une proportion entre 0 et 1 (p. ex., p = 0,25). Si un tirage comporte quatre billets et qu’un joueur possède un de ces billets, les probabilités qu’il gagne sont de 1 sur 4, ou ¼, ou 25%, ou encore p = 0,25.

Cote

La cote est le rapport entre les chances qu’a un joueur de perdre et ses chances de gagner, ou encore le rapport entre la fréquence moyenne des pertes et la fréquence moyenne des gains. Si un joueur possède 1 des 4 billets, la probabilité d’un gain est de 1 sur 4 mais la cote est de 3 à 1. Cela veut dire que le joueur a 3 chances de perdre et seulement 1 chance de gagner. Pour convertir la cote en une mesure de probabilité, on prend le nombre des chances de gagner comme numérateur et on le divise par le nombre total des chances (de gagner et de perdre). Par exemple, si la cote est de 4 à 1, la probabilité est de 1 / (1 + 4) = 1/5 ou 20%. Une cote de 1 à 1 (50%) s’appelle evens en anglais ; un gain de 1 pour 1 s’appelle even money (le montant du gain est égal au montant de l’enjeu). Les épidémiologistes se servent eux aussi de rapports de cotes pour décrire les risques de contracter une maladie (p. ex., un groupe de personnes peut avoir 2,5 fois plus de chances de contracter un cancer que le reste de la population).

Dans les jeux de hasard, cote ne désigne que rarement les chances véritables de gagner. La plupart du temps, cote désigne une estimation subjective de la cote véritable plutôt qu’un calcul mathématique précis. En outre, la cote affichée par un hippodrome ou par un bookmaker n’est pas la cote véritable, mais bien la cote des gains. La cote véritable désigne les chances réelles de gagner, tandis que la cote des gains désigne le rapport des gains pour chaque pari. Un favori peut être coté à 2 contre 1 ; mathématiquement cela représente une probabilité de 33,3%, mais pratiquement parlant cela signifie que l’hippodrome estime que pour chaque pari de 1 $, un parieur gagnant recevra un paiement de 2 $. Un cheval médiocre (qui a de faibles chances de gagner) peut être coté à 18 contre 1 (une probabilité mathématique de 5,3%), mais cette cote ne reflète pas la probabilité que ce cheval gagne, elle signifie seulement que si le parieur gagne, on lui paiera 18 $ pour chaque tranche de 1 $. Lorsqu’un turfiste dit que « la cote est bonne », il veut dire essentiellement que la cote des gains compense la cote véritable (la probabilité que le cheval ne gagnera pas). La cote véritable d’un cheval est en fait une variable inconnue, mais le plus souvent, elle est plus forte (les chances de gagner sont plus faibles) que la cote des gains (p. ex., cote des gains = 3 à 1 ; cote véritable = 5 à 1). La cote affichée d’un cheval est en fait une surestimation de ses chances de gagner, ce qui permet à l’hippodrome de s’assurer qu’un parieur gagnant sera sous-payé.

Résultats équiprobables

La notion de résultats équiprobables est au centre du concept de probabilité (Stewart, 1989). Les probabilités pour chaque face d’un dé ou d’une pièce de monnaie sont égales. Le concept de probabilité ne semble toutefois pas toujours se rattacher uniquement à des événements équiprobables. Par exemple, une machine à sous peut donner des probabilités de 25% pour le symbole des barres et de 2% pour celui du double-diamant, ce qui, en fait, ne contredit pas l’idée de résultats équiprobables. Il faut plutôt comprendre les 25% comme signifiant 25 chances et les 2% comme signifiant 2 chances, pour un total de 27 chances sur 100. Chacune de ces 27 chances est équiprobable. Autre exemple : lancer deux dés peut donner 36 résultats possibles : (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1) . . . (6,6) ; chacune de ces combinaisons est équiprobable. Cependant, un joueur qui lance deux dés obtiendra très probablement un total de 7 parce qu’à partir de deux dés, il existe six combinaisons de chiffres qui font 7 : (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) et (6,1). Un joueur qui lance deux dés a le moins de chances d’obtenir un total de 2 ou de 12 parce qu’il n’existe qu’une seule combinaison de chiffres donnant 2 (1,1) et une seule combinaison donnant 12 (6,6).

Indépendance des événements

Une des hypothèses de base de la théorie des probabilités est que chaque événement est indépendant des autres événements. Autrement dit, les tirages précédents n’influent pas sur le tirage suivant. D’où l’adage populaire : « les dés n’ont pas de mémoire ». Un dé ou une bille de roulette ne peut pas « se rappeler » que le 6 est en passe de sortir, par exemple. Comment une pièce de monnaie peut-elle savoir qu’il est temps de tomber sur face après être tombée 20 fois sur pile ? Chaque événement étant indépendant, le joueur ne peut jamais prédire ce qui se passera. Si, sur cinq lancers, une pièce de monnaie tombe cinq fois sur face, au prochain lancer elle tombera soit sur face, soit sur pile. Qu’elle ait produit cinq faces n’affecte en rien le résultat du prochain tirage. Il faut prendre garde de ne pas confondre événement peu probable et événement impossible (consulter Turner, 1998, et « Stratégies de paris cumulatifs », de Jeux et systèmes). En fait, si le résultat d’un tirage à pile ou face est vraiment aléatoire, il doit être possible que « face » sorte 1 million de fois de suite. Quoique extrêmement improbable (p = 1/2^1 000 000), un tel événement est possible. Et il est tout aussi probable, après 1 million de faces, que face sorte au tirage suivant. Beaucoup de gens croient néanmoins qu’une pièce de monnaie s’autocorrige ; si face sort « trop souvent », ils en déduisent que pile est en passe de sortir.

Cependant, dans certains cas les événements aléatoires ne sont pas complètement indépendants, ce qui complique les choses. Par exemple, la composition d’un jeu de cartes change à mesure que certaines cartes sont tirées du jeu, avec pour résultat que la valeur des cartes suivantes est fonction de celles qui les ont précédées. Néanmoins, toutes les cartes qui restent dans le jeu demeurent équiprobables. Comme exemple, supposons qu’il reste six cartes dans un jeu : quatre 7 et deux 8. Il est deux fois plus probable qu’un 7 sorte qu’un 8, mais la probabilité d’une carte particulière, disons le 7 de pique, est égale à celle du 8 de carreau, par exemple.

Abondance d’occasions

Un autre aspect clé du calcul des probabilités est la prise en compte du nombre d’occasions d’un événement. Plus il y a d’occasions, plus il est probable qu’un événement se produise. Plus un joueur de loterie achète de billets ou plus il le fait souvent, plus il a de chances de gagner. Par contre, plus on achète de billets, plus la perte attendue moyenne augmente. Si une personne achetait mille billets à la Lotto 6/49, elle aurait mille occasions de gagner, donc 1 chance sur 14 000 plutôt que 1 sur 14 millions. Le gain attendu étant toutefois presque toujours négatif, en moyenne un joueur perdra toujours de l’argent, peu importe le nombre de billets qu’il achète (consulter « Mains, billets ou paris multiples », Section 1.5 de Jeux et systèmes). Cela reste vrai, qu’un joueur achète plusieurs billets pour le même tirage ou qu’il achète un seul billet à chaque tirage. Augmenter le nombre d’occasions (p. ex., acheter davantage de billets de loterie ou de cartes de bingo, ou essayer davantage de machines à sous) a pour effet d’augmenter les chances de gagner du joueur, sans toutefois lui permettre de battre la cote.

Combinaisons

Nous abordons ici un dernier aspect de la probabilité : les chances que deux événements se produisent en même temps sont toujours inférieures aux chances qu’ils se produisent séparément. Un vendredi survient tous les 7 jours (1/7), et le 13^e jour du mois survient une fois par mois (environ 1/30 en moyenne). Un vendredi 13 ne survient toutefois qu’environ une fois tous les 210 jours (7 x 30), soit une ou deux fois par an.

Pour calculer la probabilité jointe de deux événements, il suffit de multiplier les probabilités de chacun des événements. Par exemple, les chances d’obtenir un 4 avec un seul dé sont de 1/6, ou 16,7%. Les chances d’obtenir un 4 deux fois de suite sont : 1/6 x 1/6 = 1/36 (2,78%). Les chances d’obtenir un 4 trois fois de suite sont : 1/6 x 1/6 x 1/6 = 1/216 (0,46%). Il est important de préciser, cependant, que la probabilité jointe de deux événements ne s’applique qu’aux événements qui ne se sont pas encore produits. Un événement qui s’est déjà produit a une probabilité de 100% puisqu’il est déjà survenu. Si le 4 sort aux deux derniers lancers, les chances de faire un autre 4 sont de 1/6, et non pas de 1/216, parce que la nouvelle formule est la suivante : 1 x 1 x 1/6, et non pas 1/6 x 1/6 x 1/6. Chaque événement est indépendant des autres. De plus, les chances que n’importe quel nombre sorte deux fois de suite sont de 1/6, et non pas de 1/36. Cela s’explique par le fait qu’il y a six façons possibles (occasions) d’obtenir le même numéro deux fois de suite : (1/6 x 1/6) x 6 = 6/36 = 1/6.

Ce sont les aspects cumulatif et multiplicatif de la probabilité qui amènent les gens à surestimer leurs chances de gagner. Ils ont tendance à sous‑estimer leurs chances d’obtenir un ou deux des mêmes symboles en jouant avec une machine à sous parce qu’ils ne prennent pas en compte le nombre d’occasions. Un certain nombre d’études ont révélé que les gens peuvent, avec l’expérience, apprendre inconsciemment ce qu’est la probabilité (Reber, 1993). Supposons qu’il y a 1 chance sur 32 d’obtenir un diamant pour chacune des trois bobines de la machine. Les chances d’obtenir au moins un diamant sont de 3 (le nombre de bobines) x 1/32 = 9,4%. Autrement dit, le joueur tombera sur un diamant environ une fois tous les 10,6 tours. Mais ses chances d’avoir trois diamants sont de 1/32 x 1/32 x 1/32 = 1/ 32 768 = 0,003%. Comme un joueur voit de temps en temps un (9,4%) ou deux (0,3%) symboles gagnants sur la ligne de paie, il peut surestimer ses chances d’obtenir trois symboles « à gros gain ». Il est également probable qu’un joueur surestime encore plus ses chances de gagner parce qu’il voit défiler des symboles « à gros gain » à chaque tour des bobines ou qu’il les aperçoit juste au‑dessus ou en dessous de la ligne de paie, ou parce que le mappage des bobines virtuelles entraîne une distorsion des chances apparentes, ou encore parce que les symboles « à gros gain » sont plus nombreux sur les deux premières bobines (voir Turner et Horbay, 2004).

La loi de la moyenne et la loi des grands nombres

Parmi les personnes qui s’adonnent aux jeux de hasard, la croyance enracinée qu’il existe des schémas dans le hasard s’explique peut-être en partie par une mauvaise compréhension de deux « lois » statistiques apparentées : la loi de la moyenne et la loi des grands nombres. La première est une théorie statistique populaire et informelle ; la seconde est une loi statistique. Résumons ces deux lois comme suit :

Loi de la moyenne : les événements s’égalisent avec le temps.

Loi des grands nombres : à mesure qu’augmente la taille d’un échantillon, la moyenne des résultats se rapproche de la probabilité mathématique.

La loi des grands nombres est une façon utile de comprendre les résultats de paris. En moyenne, une pièce de monnaie tombera sur face 50% du temps. Elle peut néanmoins tomber sur face 100% ou 0% du temps. Dans une petite série d’essais, une pièce peut facilement tomber sur face à chaque tirage. Toutefois, plus le nombre de tirages augmente, plus la moyenne se rapproche de 50%.

Approximation informelle de la loi des grands nombres, la loi de la moyenne est problématique car elle amène souvent les gens à présumer que si un événement ne s’est pas encore produit, il est en passe de le faire. Par exemple, si une pièce de monnaie tombe sur face 10 fois de suite, un adepte des jeux de hasard pourrait s’attendre à ce que pile soit plus probable au prochain tirage puisque que les tirages doivent s’égaliser à 50%. Beaucoup de gens croient que toute déviation par rapport aux probabilités subit forcément une correction au gré des événements ultérieurs, et ils invoquent la loi de la moyenne pour justifier leur croyance. Turner, Wiebe, Falkowski-Ham, Kelly et Skinner (2005) ont constaté que 36% de la population générale pense qu’après 5 faces de suite, il est plus probable que pile sorte au prochain tirage. La loi des grands nombres, par contre, indique seulement que la moyenne des résultats se rapproche de la moyenne vraie à mesure que croît le nombre d’observations. La moyenne ne subit pas de « correction » qui lui permettrait de refléter la moyenne attendue. La différence clé est l’attente. Après une série de 10 faces de suite, la loi de la moyenne prévoit que davantage de piles devraient survenir pour que la moyenne s’égalise. La loi des grands nombres, quant à elle, indique seulement qu’après un nombre d’essais suffisamment grand, une série de 10 faces est sans rapport statistiquement et que la moyenne se rapproche de la probabilité mathématique.

Certaines personnes acceptent l’idée que la moyenne mesurée reflétera, à long terme, le pourcentage de probabilité ; mais après une série de tirages à pile ou face qui commencent par une suite ininterrompue de faces, elles s’attendent toujours à ce que, par la suite, pile sorte plus souvent au cours d’un million de tirages pour que la moyenne mesurée se rapproche de 50%. Une certaine personne a maintenu qu’il devait y avoir un « biais » en faveur de pile pour que la moyenne revienne à 50%. C’est faux. Selon la loi des grands nombres, ce n’est pas le nombre de lancers qui fait que la moyenne se rapproche du pourcentage de probabilité, mais bien le nombre moyen de lancers. Supposons qu’après avoir obtenu 10 faces de suite, nous effectuons 1 million de tirages de plus. L’écart de 10 disparaît-il ? Non. En fait, après 1 million de tirages, il peut y avoir un écart aussi grand que 1 000 ou 2 000 entre le nombre de piles et le nombre de faces. Même un écart de 9 000 s’égaliserait à 50% après 1 million de tirages. Par conséquent, une personne ne peut pas obtenir un avantage au jeu en se servant de déviations par rapport à la moyenne attendue.

Il est important de comprendre que cette « loi » n’est en réalité qu’un résumé de ce qui, la plupart du temps, est observé dans de grandes séries (en théorie, des séries infinies) d’événements. Cette « loi » ne prédit absolument pas ce qui se passera ensuite ou ce qui se passera en toute probabilité. Supposons que dans un jeu de pile ou face, les 10 premiers tirages donnent les résultats suivants : P, F, F, F, P, F, P, F, F, F (20% pile, 80% face). Si les 40 prochains tirages donnent 19 piles et 21 faces (47,5% pile et 52,5% face), après 50 tirages le pourcentage cumulatif de piles aura augmenté de 20% à 42%—et ce, en dépit du nombre toujours supérieur de faces. Soit dit en passant, un joueur ayant parié 1 $ sur pile à chacun des 40 tirages en pensant que pile était « en passe de sortir » aurait perdu 2 $. La moyenne des résultats se rapproche de la moyenne attendue, mais ne se corrige pas.

Illustrons en comparant les Schémas 1 et 2. Le Schéma 1 montre le pourcentage de piles et de faces sur de nombreux tirages à pile ou face, tandis que le Schéma 2 montre le nombre de piles et de faces. Dans le Schéma 1, il est clair que le rapport de piles à faces se rapproche d’une moyenne de 50% à mesure qu’augmente le nombre de tirages. Cependant, le Schéma 2 indique que le nombre même de piles et de faces ne converge pas ; en fait, plus il y a de tirages, plus la ligne qui représente l’équilibre entre pile et face dévie par rapport à 0. Parfois, la ligne monte (davantage de « faces »), parfois elle tombe (davantage de « piles »). Beaucoup de personnes qui s’adonnent aux jeux de hasard saisissent l’idée que la moyenne se rapproche de 50% (Schéma 1), mais croient à tort que le nombre de piles et de faces se rapproche, lui aussi, de la moyenne. La ligne grasse dans les deux schémas représente une pièce de monnaie qui, au début, tombe davantage sur face que sur pile. Remarquez que même si la moyenne se rapproche de 50% (Schéma 1), la ligne qui représente l’équilibre face-pile continue à dévier vers le haut, s’éloignant de la moyenne (Schéma 2).

Schéma 1. Pourcentage de piles et de faces sur un nombre croissant de tirages à « pile ou face ».

Le pourcentage de piles et de faces converge sur la moyenne.

All heads = 100% faces

All tails = 100% piles

Increasing number of coin tosses = Nombre croissant de tirages

Schéma 2. Répartition pile-face sur un nombre croissant de tirages à « pile ou face ».

Le nombre de piles et le nombre de faces ne convergent pas sur la moyenne mais s’en écarte.

Maximum possible number of heads = Nombre possible maximal de faces

Maximum possible number of tails = Nombre possible maximal de piles

Increasing number of coin tosses = Nombre croissant de tirages

 Retour - Probabilité, événements aléatoires et mathématiques des jeux de hasard